Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Содержимое статьи:

• Уравнение касательной плоскости к поверхности задается формулой:
  

  (x - x0)*nx + (y - y0)*ny + (z - z0)*nz = 0

• Вектор нормали к касательной плоскости совпадает с градиентом функции в данной точке:
  

  n = (nx, ny, nz) = (∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂y/∂v, ∂z/∂u, ∂z/∂v)

  Нормаль

• Уравнение нормали к поверхности записывается как:
  

  r(t) = (x0, y0, z0) + t*n

• Вектор нормали совпадает с градиентом функции в данной точке.
  Пример Для заданной поверхности:
  

  x = u + v
  
  y = u^2 + v^2
  
  z = u^3 + v^3

  В точке M(3, 5, 8) (u0 = 1, v0 = 2):

• Градиент в точке M:
  

  n = (∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂y/∂v, ∂z/∂u, ∂z/∂v) = (1, 1, 2, 2, 3, 3)

• Уравнение касательной плоскости:
  

  (x - 3)*1 + (y - 5)*1 + (z - 8)*1 = 0
  
  x + y + z - 16 = 0

• Уравнение нормали:
  

  r(t) = (3, 5, 8) + t*(1, 1, 1)